問題
次の文章は，円板状の電荷分布が作り出す電界に関する記述である。文中の に当てはまる最も適切なものを解答群の中から選べ。なお，電位は無限遠点を基準とする。
図1のように電荷が一様な面密度 σ （ただし σ＞0 とする）で分布した半径 a の薄い円板が真空中（誘電率 ε0 ）に存在している。円板の厚みはその半径に比べて十分に薄いものとし，円板の軸を z 軸とした円筒座標 (r,ϕ,z) を定め，円板の中心を原点 O(0,0,0) とする。
円板上の半径 r の位置における微小半径 dr ，微小角度 dϕ の領域（面素）の面積は \(\mathbf dS=rdrdϕ\) と表されるので，この領域に含まれる電荷が z 軸上の点 P(0,0,z) （ただし z＞0 とする）に作る電位は，
\(\mathbf dV = \frac{drdϕ}{4πε_0}\) × (1) となる。よって，円板上の電荷全体が点 P に作る電位は，
\(\mathbf V= 14πε_0×\int_{0}^{2π} \int_{a}^{0}\) (1) \(\mathbf drdϕ\) \(\newline\)
\(\hspace{10pt}\)= (2) となる。なお，必要であれば，
\(\frac{d}{dx}\sqrt{x^2+1} = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}}\)という関係式を用いてもよい。
(2) の結果を用いると，このとき点 P に形成される z 方向電界は，
\(Ez_1\)=－\(\frac{dV}{dz}\)= (3) と求められる。
次に，図2に示すように点 Q(0,0,d) （ただし d＞0 とする）を中心とした半径 a の十分に薄い円板上にも一様な面密度 −σ で電荷が分布している場合を考える。点 P が点 O と点 Q の間にあるとすると，点 P の z 方向電界は重ね合わせにより，
\(Ez_2\)= (4) となる。二つの円板の半径 a が円板間距離 d に対して十分大きい場合には，円板間の電界は一様であるとみなせ，その大きさは (5) となる。
解答
（１） （ト）$$\frac{σr}{\sqrt{z^2+r^2}}$$
（２） （へ）$$\frac{σ}{2ε_0}(\sqrt{z^2+a^2}-z)$$
（３） （ヨ）$$\frac{σ}{2ε_0}(1-\frac{z}{\sqrt{z^2+a^2}})$$
（４） （ハ）$$\frac{σ}{2ε_0}\left[2-\frac{z}{\sqrt{z^2+a^2}}-\frac{d-z}{\sqrt{(d-z)^2+a^2}}\right]$$
（５） （イ）$$\frac{σ}{ε_0}$$
